O paradoxo do Hotel Infinito

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O Hotel Infinito, um exercício de lógica matemática, criado pelo matemático alemão David Hilbert, é um hotel com um número infinito de quart...

O Hotel Infinito, um exercício de lógica matemática, criado pelo matemático alemão David Hilbert, é um hotel com um número infinito de quartos. Fácil de compreender, certo? Errado. O que acontece se estiver completamente lotado e uma pessoa quiser fazer o check in? E se forem 40? Ou um ônibus com um número infinito de pessoas? Jeff Dekofsky resolve estes problemas desafiadores de alojamento usando o paradoxo de Hilbert.


Por volta de 1920, o matemático alemão David Hilbert imaginou um famoso experimento de lógica matemática para mostrar como é difícil compreender o conceito de infinito.



Imagine um hotel com um número infinito de quartos e um gerente noturno muito trabalhador.
Certa noite, o Hotel Infinito está completamente lotado, com um número infinito de hóspedes.
Um homem entra no hotel e solicita uma vaga.

Em vez de recusar o hóspede, o gerente da noite decide acomodá-lo. Como? É fácil. Ele pede ao hóspede do quarto número 1 que se mude para o quarto número 2, o hóspede do apartamento 2 vai para o quarto 3 e assim por diante.

Cada hóspede muda-se do quarto número "n" para o quarto "n+1". Já que há um número infinito de apartamentos, haverá uma nova vaga para cada hóspede existente. Isto deixa o quarto 1 livre para um novo cliente. O processo pode ser repetido para qualquer número finito de novos hóspedes.

Se, digamos, um ônibus de turismo trouxer 40 novas pessoas procurando acomodação, então, cada hóspede existente terá apenas que se mudar do quanto número "n" para o quarto número "n+40", liberando assim os primeiros 40 quartos.

Mas agora um número infinito de ônibus trazendo um número infinito contável de passageiros chega à procura de vagas. O infinito contável é a chave da questão. Agora, o ônibus infinito com infinitos passageiros deixa o gerente da noite inicialmente perplexo, mas ele se dá conta de que há uma solução para acomodar cada nova pessoa.

Ele pede ao hóspede do quarto 1 para se mudar para o quarto 2. A seguir, pede ao hóspede do quarto 2 que passe para o quarto 4, o hóspede do quarto 3 para deslocar-se para o quarto 6, e assim por diante. Cada hóspede atual muda-se do quarto número "n" para o quarto "2n", ocupando apenas os quartos dos infinitos números pares.

Assim procedendo, ele desocupou todos os infinitos quartos dos números ímpares. que serão ocupados pelas pessoas que chegaram no ônibus infinito.

Todo mundo fica feliz e os negócios do hotel prosperam mais do que nunca. Para falar a verdade, prosperam exatamente no mesmo montante de sempre, faturando um número infinito de dólares a cada noite.

As notícias sobre este incrível hotel se espalham. Chegam pessoas de lugares distantes, de toda a parte. Uma noite acontece o inpensável.

O gerente noturno olha para fora e vê uma fila infinita de ônibus infinitamente grandes, cada qual com um número contável de infinitos passageiros.

O que ele pode fazer? Se ele não puder hospedá-los, o hotel perderá uma quantidade infinita de dinheiro e ele certamente perderá seu emprego.

Por sorte, ele lembra que, por volta do ano 300 A.C., Euclides provou que existe uma quantidade infinita de números primos.

Então, para realizar a tarefa aparentemente impossível de encontrar infinitos leitos para infinitos ônibus com infinitos passageiros cansados, o gerente noturno reserva a cada hóspede atual o primeiro número primo, 2, elevado à potência do número do seu quarto atual.

Assim, o atual ocupante do quarto número 7 vai para o quarto número 2^7, que é o quarto 128.
O gerente noturno a seguir leva as pessoas do primeiro dos ônibus infinitos e as acomoda no quarto cujo número é o número primo seguinte, o 3, elevado à potência do número do seu assento no ônibus.
Então, a pessoa no assento de número 7 no primeiro ônibus vai para o quarto número 3^7, ou o quarto número 2.187.

Isto continua para todos os do primeiro ônibus.
Aos passageiros do segundo ônibus são associadas potências do número primo seguinte, o 5. O próximo ônibus, potências de 7.

Segue para cada ônibus: potências de 11, potências de 13, potências de 17, etc.

Tendo em vista que cada um destes números tem apenas 1 valor único para as potências dos números naturais de seus números primos tomados como base, não há superposição do número de quartos.
Todos os passageiros dos ônibus distribuem-se pelos quartos usando esquemas de reservas únicos, baseados em números primos únicos.

Desta forma, o gerente da noite pode acomodar cada passageiro de cada ônibus, embora muitos quartos permanecerão vazios, como o quarto 6, já que 6 não é uma potência de nenhum número primo.

Felizmente, seus patrões não eram muito bons de matemática, de modo que seu emprego está a salvo.
As estratégias do gerente noturno são possíveis apenas porque, embora o Hotel Infinito seja com certeza um pesadelo logístico, ele lida apenas com o nível mais baixo do infinito, principalmente, o infinito contável dos números naturais, 1, 2, 3, 4 e assim por diante.

Georg Cantor chamou este nível de infinito aleph-zero. Usamos números naturais para os números dos quartos bem como para os números dos assentos dos ônibus. Se trabalharmos com ordens superiores de infinito, como aquela dos números reais, estas estratégias estruturadas não serão mais possíveis por não termos meios de incluir sistematicamente cada número.

O Hotel Infinito do Número Real tem quartos com números negativos no subsolo, quartos com número fracionários, de modo que o cara do quarto 1/2 sempre desconfia que ele tem menos espaço do que aquele do quarto 1. Quartos numerados com raiz quadrada, como o quarto radical 2 e o quarto pi, onde os hóspedes esperam ter sobremesa grátis.

Qual gerente que se preza desejaria trabalhar ali, mesmo com um salário infinito? Mas no Hotel Infinito de Hilbert, onde nunca nunca existe vaga e há sempre quarto para mais gente, os cenários enfrentados pelo gerente sempre esforçado e talvez excessivamente hospitaleiro servem para nos lembrar do quanto é difícil para as nossas mentes relativamente finitas entender um conceito tão amplo como o infinito.

Talvez você possa ajudar a resolver estes problemas depois de uma boa noite de sono.
Mas, honestamente, talvez seja preciso que você troque de quarto às 2 horas da madrugada.

Fonte: TED-Ed
[Visto no Brasil Acadêmico]

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