O problema dos cinco cincos

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Malba Tahan, o heterônimo do escritor brasileiro Júlio César de Melo e Sousa, propôs em seu romance, O Homem que Calculava, o famoso problem...

Malba Tahan, o heterônimo do escritor brasileiro Júlio César de Melo e Sousa, propôs em seu romance, O Homem que Calculava, o famoso problema dos quatro quatros. Que seria a representação de todos os números de zero a 100 utilizando apenas quatro algarismos quatro e alguns operadores matemáticos. O Blog Brasil Acadêmico foi um passo adiante propondo e solucionando o "Problema dos Cinco Cincos".


O jovem Júlio César estudou a fundo todos os aspectos da cultura árabe e da oriental. Em 1925, propôs a Irineu Marinho, dono do jornal carioca A Noite, uma série de "contos de mil e uma noites". Surgia aí o escritor fictício Malba Tahan, que assinava os contos com comentários de outro heterônimo de Júlio César: O fictício Prof. Breno de Alencar Bianco. Seu pseudônimo tornou-se tão famoso que o então Presidente Getúlio Vargas concedeu uma permissão para que o nome aparecesse estampado em sua carteira de identidade. Até o fim da vida, Júlio César escreveu e publicou livros de ficção, recreação e curiosidades matemáticas, didáticos e sobre educação, com seu nome verdadeiro ou com o ilustre pseudônimo. Ficou célebre por sua técnica como contador de histórias e por sua atuação inovadora como professor. Suas aulas eram agitadas e interessantes, sempre repletas de curiosidades que atraíam a atenção dos estudantes.



O Homem que Calculava, é uma coleção de problemas e curiosidades matemáticas apresentada sob a forma de narrativa das aventuras de um calculista persa à maneira dos contos de Mil e Uma Noites. Monteiro Lobato classificou-a como:

… obra que ficará a salvo das vassouradas do Tempo como a melhor expressão do binômio ‘ciência-imaginação.’

Júlio César, como professor de matemática, destacou-se por ser um crítico mordaz das estruturas ultrapassadas de ensino. Ele denunciava:

O professor de Matemática em geral é um sádico. Ele sente prazer em complicar tudo.

Com concepções muito à frente de seu tempo, somente nos dias de hoje Júlio César começa a ter o reconhecimento de sua importância como educador.


O problema dos 4 quatros até virou um jogo. Para jogar espere carregar e clique em continue.
Depois, clique na bandeira do Brasil para ver as instruções em português.

Pois em uma passagem da obra supra citada, o lendário calculista persa Beremiz Samir, discorreu sobre o curioso problema da seguinte forma:


OS QUATRO QUATROS

Ao ver Beremiz interessado em adquirir o turbante azul, objetei:
- Julgo loucura comprar esse luxo. Estamos com pouco dinheiro e ainda não pagamos a hospedaria.
- Não é o turbante que me interessa – retorquiu Beremiz. – Repare que a tenda desse mercador é intitulada “Os Quatro Quatros”. Há nisso tudo espantosa coincidência digna de atenção.
- Coincidência? Por quê?
- Ora bagdali – retorquiu Beremiz -, a legenda que figura nesse quadro
recorda uma das maravilhas do Cálculo: podemos formar um número qualquer
empregando quatro quatros!
E antes que eu o interrogasse sobre aquele enigma, Beremiz explicou,
riscando na areia fina que cobria o chão:
- Quer formar o zero? Nada mais simples. Basta escrever:

44−44


As regras da execução da solução basicamente dizem respeito a poder usar qualquer operador ou função matemática. Malba Tahan, faz algumas considerações na parte final de O Homem que Calculava, diz ele que esse é um antigo problema matemático e que considerava ilegítimas algumas soluções, apontadas por outro matemático, que usava expressões pouco usuais e funções que utilizam letras em sua representação (como Lim, para limite).

Ocorre que meu pai, Dr. Rilmar J. Gomes, médico, colaborador do blog e antigo leitor de Malba Tahan, resolveu que iria resolver problema semelhante adaptado para o número cinco: Os Cinco Cincos.

Assim, usando papel e caneta, feito um matemático polonês, ele se lançou nessa empreitada e assim conseguiu dar cabo da questão (tive até uma pequena participação na hora de resolver os últimos 2 números, o que me levou a sair da minha amada zona de conforto (e "desenferrujar" meus conhecimentos de planilha eletrônica).


As regras para a execução desse problema seriam semelhantes ao problema proposto em O Homem que Calculava, com o seguinte formato:

Obter todos os números de 1 a 100 apenas usando 5 algarismos 5 que devem, todos eles, sempre estar presentes em cada expressão.

Não seria ser usada a raiz quadrada, já que é meio incômodo aquele 2 "implícito" em um problema onde só poderíamos usar o numeral 5.

Pode-se usado a soma (+), subtração(-), divisão (/) e a multiplicação (*). Além do fatorial (!), da potenciação (^), dos parênteses (também os colchetes e chaves, embora possamos resolver tudo só com parênteses para fazer o agrupamento) e do pouco conhecido termial (?).

O termial, representado pelo símbolo ?, é uma notação matemática que significa a soma dos números inteiros de n até 1. Assim:

n? = (n) + (n-1) + ... + 1

A denominação "termial" deriva da expressão em inglês: "termial function" . Vide o livro - The Art of Computer Programming, segunda edição, vol. 1 / Fundamental Algorithms, Donald E. Knuth - Stanford University - Addison-Wesley Publishing Company.

Cuidado para não confundir com o somatório. Podemos dizer que o fatorial está para termial, assim como o produtório está para o somatório. São coisas bem distintas. Para incentivar aqui vão os 5 primeiros números.

01 = ( 5/5 ) * 5 ^ ( 5-5 ) = (1) * 5 ^ 0  = 1 * 1 = 1

02 = ( 5/5 ) + 5 ^ ( 5-5 ) = ( 1 ) + 5 ^ ( 0 ) = 1 + 1 = 2

03 = ( 5/5 ) + ( 5+5 ) / 5 = ( 1 ) + ( 10 ) / 5 = 1 + 2 = 3

04 = 5 - (5/5) * (5/5) = 5 - ( 1 ) * ( 1 ) = 5 - 1 = 4

05 = 55/55 * (5) = 1 * 5 = 5

Já o uso do termial (?), para quem não estiver familiarizado, pode ser visto na hora de se resolver o número 13.


13 = 5? – (5/5 + 5/5) = 15 - (1 + 1) = 15 - 2 = 13

O termial de 5 é igual a 5? = 5+4+3+2+1 = 15


A título de curiosidade: Gauss teria reduzido o termial a uma expressão na forma [(n + 1). n] / 2. Uma vez que o termial nada mais é do que a soma dos n primeiros termos de uma Progressão Aritmética de razão 1.

E aí? Vamos tentar? A solução por nós apontada está publicada no post "Solução do problema dos cinco cincos". Ao contrário de muitas séries de TV atuais, garantimos que essa trama terá final.

Obs.: Você gostaria de começar pelo zero? Basta lembrar que todo número múltiplicado por zero resulta em zero. Assim: (5-5)*(555) = 0.

Fonte: Wikipedia, Site do Eng. Paulo Marques,

[Via BBA]

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BLOGGER: 3
  1. Colaborador do Blog, leitor entusiasmado de Malba Tahan, mormente na adolecência; ao empregar apenas folhas e mais folhas de papel e uma esferográfica quis assemelhar-me mais ao nosso Aramis que nem isso usava vez que sua mente privilegiada lhe permitia fazer todos os cálculos mentalmente ou apenas rasbicando as areias do deserto. Assim, essa empreitada teve para mim, nuances de criatividade, técnica (não muita), e trabalho, esse sim muito. Em certo momento submeti o trabalho ainda necessitando uma ou outra pincelada, ao meu dileto filho Alexandre que o completou, analisou e burilou para que pudesse ser publicado e, finalmente, o dividiu em duas pérolas que, estou esperançoso de que vão agradar ao leitor paciente e perspicaz. - Rilmar

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  2. Veja se com os vídeos fica mais fácil de entender.

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  3. É uma boa dica. Também pode-se adquirir cadarços mais finos, só que dá mais trabalho de encontrar.

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