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O problema dos cinco cincos

Malba Tahan, o heterônimo do escritor brasileiro Júlio César de Melo e Sousa, propôs em seu romance, O Homem que Calculava, o famoso problem...

Malba Tahan, o heterônimo do escritor brasileiro Júlio César de Melo e Sousa, propôs em seu romance, O Homem que Calculava, o famoso problema dos quatro quatros. Que seria a representação de todos os números de zero a 100 utilizando apenas quatro algarismos quatro e alguns operadores matemáticos. O Blog Brasil Acadêmico foi um passo adiante propondo e solucionando o "Problema dos Cinco Cincos".


O jovem Júlio César estudou a fundo todos os aspectos da cultura árabe e da oriental. Em 1925, propôs a Irineu Marinho, dono do jornal carioca A Noite, uma série de "contos de mil e uma noites". Surgia aí o escritor fictício Malba Tahan, que assinava os contos com comentários de outro heterônimo de Júlio César: O fictício Prof. Breno de Alencar Bianco. Seu pseudônimo tornou-se tão famoso que o então Presidente Getúlio Vargas concedeu uma permissão para que o nome aparecesse estampado em sua carteira de identidade. Até o fim da vida, Júlio César escreveu e publicou livros de ficção, recreação e curiosidades matemáticas, didáticos e sobre educação, com seu nome verdadeiro ou com o ilustre pseudônimo. Ficou célebre por sua técnica como contador de histórias e por sua atuação inovadora como professor. Suas aulas eram agitadas e interessantes, sempre repletas de curiosidades que atraíam a atenção dos estudantes.



O Homem que Calculava, é uma coleção de problemas e curiosidades matemáticas apresentada sob a forma de narrativa das aventuras de um calculista persa à maneira dos contos de Mil e Uma Noites. Monteiro Lobato classificou-a como:

… obra que ficará a salvo das vassouradas do Tempo como a melhor expressão do binômio ‘ciência-imaginação.’

Júlio César, como professor de matemática, destacou-se por ser um crítico mordaz das estruturas ultrapassadas de ensino. Ele denunciava:

O professor de Matemática em geral é um sádico. Ele sente prazer em complicar tudo.

Com concepções muito à frente de seu tempo, somente nos dias de hoje Júlio César começa a ter o reconhecimento de sua importância como educador.


O problema dos 4 quatros até virou um jogo. Para jogar espere carregar e clique em continue.
Depois, clique na bandeira do Brasil para ver as instruções em português.

Pois em uma passagem da obra supra citada, o lendário calculista persa Beremiz Samir, discorreu sobre o curioso problema da seguinte forma:


OS QUATRO QUATROS

Ao ver Beremiz interessado em adquirir o turbante azul, objetei:
- Julgo loucura comprar esse luxo. Estamos com pouco dinheiro e ainda não pagamos a hospedaria.
- Não é o turbante que me interessa – retorquiu Beremiz. – Repare que a tenda desse mercador é intitulada “Os Quatro Quatros”. Há nisso tudo espantosa coincidência digna de atenção.
- Coincidência? Por quê?
- Ora bagdali – retorquiu Beremiz -, a legenda que figura nesse quadro
recorda uma das maravilhas do Cálculo: podemos formar um número qualquer
empregando quatro quatros!
E antes que eu o interrogasse sobre aquele enigma, Beremiz explicou,
riscando na areia fina que cobria o chão:
- Quer formar o zero? Nada mais simples. Basta escrever:

44−44


As regras da execução da solução basicamente dizem respeito a poder usar qualquer operador ou função matemática. Malba Tahan, faz algumas considerações na parte final de O Homem que Calculava, diz ele que esse é um antigo problema matemático e que considerava ilegítimas algumas soluções, apontadas por outro matemático, que usava expressões pouco usuais e funções que utilizam letras em sua representação (como Lim, para limite).

Ocorre que meu pai, Dr. Rilmar J. Gomes, médico, colaborador do blog e antigo leitor de Malba Tahan, resolveu que iria resolver problema semelhante adaptado para o número cinco: Os Cinco Cincos.

Assim, usando papel e caneta, feito um matemático polonês, ele se lançou nessa empreitada e assim conseguiu dar cabo da questão (tive até uma pequena participação na hora de resolver os últimos 2 números, o que me levou a sair da minha amada zona de conforto (e "desenferrujar" meus conhecimentos de planilha eletrônica).


As regras para a execução desse problema seriam semelhantes ao problema proposto em O Homem que Calculava, com o seguinte formato:

Obter todos os números de 1 a 100 apenas usando 5 algarismos 5 que devem, todos eles, sempre estar presentes em cada expressão.

Não seria ser usada a raiz quadrada, já que é meio incômodo aquele 2 "implícito" em um problema onde só poderíamos usar o numeral 5.

Pode-se usado a soma (+), subtração(-), divisão (/) e a multiplicação (*). Além do fatorial (!), da potenciação (^), dos parênteses (também os colchetes e chaves, embora possamos resolver tudo só com parênteses para fazer o agrupamento) e do pouco conhecido termial (?).

O termial, representado pelo símbolo ?, é uma notação matemática que significa a soma dos números inteiros de n até 1. Assim:

n? = (n) + (n-1) + ... + 1

A denominação "termial" deriva da expressão em inglês: "termial function" . Vide o livro - The Art of Computer Programming, segunda edição, vol. 1 / Fundamental Algorithms, Donald E. Knuth - Stanford University - Addison-Wesley Publishing Company.

Cuidado para não confundir com o somatório. Podemos dizer que o fatorial está para termial, assim como o produtório está para o somatório. São coisas bem distintas. Para incentivar aqui vão os 5 primeiros números.

01 = ( 5/5 ) * 5 ^ ( 5-5 ) = (1) * 5 ^ 0  = 1 * 1 = 1

02 = ( 5/5 ) + 5 ^ ( 5-5 ) = ( 1 ) + 5 ^ ( 0 ) = 1 + 1 = 2

03 = ( 5/5 ) + ( 5+5 ) / 5 = ( 1 ) + ( 10 ) / 5 = 1 + 2 = 3

04 = 5 - (5/5) * (5/5) = 5 - ( 1 ) * ( 1 ) = 5 - 1 = 4

05 = 55/55 * (5) = 1 * 5 = 5

Já o uso do termial (?), para quem não estiver familiarizado, pode ser visto na hora de se resolver o número 13.


13 = 5? – (5/5 + 5/5) = 15 - (1 + 1) = 15 - 2 = 13

O termial de 5 é igual a 5? = 5+4+3+2+1 = 15


A título de curiosidade: Gauss teria reduzido o termial a uma expressão na forma [(n + 1). n] / 2. Uma vez que o termial nada mais é do que a soma dos n primeiros termos de uma Progressão Aritmética de razão 1.

E aí? Vamos tentar? A solução por nós apontada está publicada no post "Solução do problema dos cinco cincos". Ao contrário de muitas séries de TV atuais, garantimos que essa trama terá final.

Obs.: Você gostaria de começar pelo zero? Basta lembrar que todo número múltiplicado por zero resulta em zero. Assim: (5-5)*(555) = 0.

Fonte: Wikipedia, Site do Eng. Paulo Marques,

[Via BBA]

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