Quer conhecer um número misterioso? Conheça a constante de Kaprekar. A constante de Kaprekar recebe esse nome em homenagem ao matemático ind...
Quer conhecer um número misterioso? Conheça a constante de Kaprekar.
![6174](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiojcrngAYUiNHqrFzFa3yAGKFkXd1IvKTJg1B7liZIx3LaT6IINAIOc9v8ghQ0xNNWsLo4w3c5Qng6VHuL-NOO-CkGr5maD2A7ZdxGu3i3vBarVk4Q2ty3h_NqDI79XsOUS_ZR7I_9hN_t/s400/6174.jpg)
A constante de Kaprekar recebe esse nome em homenagem ao matemático indiano Dattaraya Ramchandra Kaprekar (1905 – 1986) que descobriu uma curiosa propriedade envolvendo esse número. Vamos aos fatos:
Constante de Kaprekar
Considere os seguintes procedimentos:
Os passos acima são conhecidos como rotina de Kaprekar, o resultado sempre chegará ao número 6174 se executarmos essa rotina até 7 (sete) vezes.
Os únicos números de 4 dígitos que não chegariam no número 6174 se submetidos a essas operações são os números que têm todos os dígitos iguais, tais como o 1111, o 2222 etc. Pois a operação de subtração (do passo 3) daria sempre 0 (zero).
Por exemplo, imagine que seja escolhido o número 2010. Aplicando a rotina Kaprekar teríamos:
Ou seja, chegamos ao número 6174 em apenas 3 (três) operações.
Mas, chama a atenção o fato de que jamais ultrapassamos 7 (sete) operações. Como ocorre com o número 3495:
Assim, poderíamos indagar, como é a distribuição do número de operações de subtração que deve ser realizado para se atingir a constante de Kaprekar? Será homogênea?
Aí nosso laboratório computacional entrou em cena. O primeiro teste comprovou ser essa regra válida dentre os 10 mil números de 4 (quatro) dígitos (de 0000 até 9999).
Depois vimos como era a frequência de ocorrência do número de operações para cada valor, vimos que as ocorrências de operações são crescentes, e de forma mais ou menos linear, em direção ao número 7. Com a exceção do 3, que é um pico inesperado, com um total de ocorrências ainda maior que a do próprio 7 (veja o gráfico).
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjvXkJvOC7xTKPyp9D9hQE2QRgGS2jv3k5abA3ipJV00FcyYXxbO1aRPs4UNuJYNiYtC9svD0aV_cJThB8KuQ_tGcAkNtp4oGF2C2hEWrMGI8Ntabjsl0Km0lvf0CpT_x2eg5uGLS2oR-IL/s400/kaprekar1.jpg)
Compare com uma função randômica (onde valores entre 1 e 7 são sorteados para cada valor da sequência entre 0 e 9999, saltando o valores que tenham todos os dígitos repetidos).
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9zk9WcAorVADGA3WB5zXnf9f4iODvfZjXj1oDXBfLWf5YSdt1bGIJxBVAbq3ZaN5QGWR7PY__hLEQqqztje9gArEWJB7_PCXluu0mdWhJ4xlHZavMaZSKfxk7Zgw7PXcuPr3hOrLG_6C5/s400/randomica.jpg)
É notável também, que há uma certa ordem no caos, na distribuição do números de subtrações realizadas, ao longo da série. Mas nada que pudéssemos chamar de simetria de fato.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoFCIqifQ_Nbg78TCBDB_kaPcLBLF03nUAKOjhmlREe0dvh5Vaid1t8RwwcHqfbwY2etG9mY9I1h-_hrezxQlcEWTh9la8xH5i-EZkFsGalf4SoFXk2kR8ENygD4IGxve5eBLDEIlhHSUu/s400/kaprekar2.jpg)
Sabe aquelas obras que são até bonitinhas mas que parecem exibir um defeitinho, que parecem inacabadas?
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgiEj8KY7ewh9m4ufW5vw-yS3lk82dv3MgbvMLFQAwpr8MIePHzMR716lZMde2PjGqFy4LYi894uV7Lgg3ID4ZIsiLoIH7i-6nL-m6ri3WGlTJzE4n0Dm196W-SXDvyr8M0kREoRwtIfGiD/s400/kaprekar3.jpg)
E aí, Mister Pra Quê, por que estamos estudando isso? Bem, as aplicações práticas da matemática nem sempre são utilizadas de pronto. Mas servem para ampliar nossa visão do universo e podem ajudar a desvender mistérios em campos inesperados.
Além disso, pode render assunto para um bom bate-papo com a turma. Afinal, se a resposta para a pergunta fundamental sobre a vida, o universo e tudo mais é o número 42, (vide a obra O Mochileiro das Galáxias) imagine o número 6174. ;-D
![6174](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiojcrngAYUiNHqrFzFa3yAGKFkXd1IvKTJg1B7liZIx3LaT6IINAIOc9v8ghQ0xNNWsLo4w3c5Qng6VHuL-NOO-CkGr5maD2A7ZdxGu3i3vBarVk4Q2ty3h_NqDI79XsOUS_ZR7I_9hN_t/s400/6174.jpg)
A constante de Kaprekar recebe esse nome em homenagem ao matemático indiano Dattaraya Ramchandra Kaprekar (1905 – 1986) que descobriu uma curiosa propriedade envolvendo esse número. Vamos aos fatos:
Constante de Kaprekar
Considere os seguintes procedimentos:
- Pegue qualquer número natural de 4 dígitos, que tenha no mínimo dois dígitos diferentes (pode lançar mão de zeros à esquerda)
- Arrange os dígitos em ordem ascendente e depois em ordem descendente de forma a obter dois número com quatro dígitos cada. Coloque zeros à esquerda se necessário.
- Subtraia o menor número do maior.
- Volte ao passo dois e processe o resultado.
Os passos acima são conhecidos como rotina de Kaprekar, o resultado sempre chegará ao número 6174 se executarmos essa rotina até 7 (sete) vezes.
Os únicos números de 4 dígitos que não chegariam no número 6174 se submetidos a essas operações são os números que têm todos os dígitos iguais, tais como o 1111, o 2222 etc. Pois a operação de subtração (do passo 3) daria sempre 0 (zero).
Por exemplo, imagine que seja escolhido o número 2010. Aplicando a rotina Kaprekar teríamos:
2100 - 0012 = 2088
8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174
Ou seja, chegamos ao número 6174 em apenas 3 (três) operações.
Mas, chama a atenção o fato de que jamais ultrapassamos 7 (sete) operações. Como ocorre com o número 3495:
9543 - 3459 = 6084
8640 - 0468 = 8172
8721 - 1278 = 7443
7443 - 3447 = 3996
9963 - 3699 = 6264
6642 - 2466 = 4176
7641 - 1467 = 6174
Assim, poderíamos indagar, como é a distribuição do número de operações de subtração que deve ser realizado para se atingir a constante de Kaprekar? Será homogênea?
Aí nosso laboratório computacional entrou em cena. O primeiro teste comprovou ser essa regra válida dentre os 10 mil números de 4 (quatro) dígitos (de 0000 até 9999).
Depois vimos como era a frequência de ocorrência do número de operações para cada valor, vimos que as ocorrências de operações são crescentes, e de forma mais ou menos linear, em direção ao número 7. Com a exceção do 3, que é um pico inesperado, com um total de ocorrências ainda maior que a do próprio 7 (veja o gráfico).
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjvXkJvOC7xTKPyp9D9hQE2QRgGS2jv3k5abA3ipJV00FcyYXxbO1aRPs4UNuJYNiYtC9svD0aV_cJThB8KuQ_tGcAkNtp4oGF2C2hEWrMGI8Ntabjsl0Km0lvf0CpT_x2eg5uGLS2oR-IL/s400/kaprekar1.jpg)
Compare com uma função randômica (onde valores entre 1 e 7 são sorteados para cada valor da sequência entre 0 e 9999, saltando o valores que tenham todos os dígitos repetidos).
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9zk9WcAorVADGA3WB5zXnf9f4iODvfZjXj1oDXBfLWf5YSdt1bGIJxBVAbq3ZaN5QGWR7PY__hLEQqqztje9gArEWJB7_PCXluu0mdWhJ4xlHZavMaZSKfxk7Zgw7PXcuPr3hOrLG_6C5/s400/randomica.jpg)
É notável também, que há uma certa ordem no caos, na distribuição do números de subtrações realizadas, ao longo da série. Mas nada que pudéssemos chamar de simetria de fato.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoFCIqifQ_Nbg78TCBDB_kaPcLBLF03nUAKOjhmlREe0dvh5Vaid1t8RwwcHqfbwY2etG9mY9I1h-_hrezxQlcEWTh9la8xH5i-EZkFsGalf4SoFXk2kR8ENygD4IGxve5eBLDEIlhHSUu/s400/kaprekar2.jpg)
Sabe aquelas obras que são até bonitinhas mas que parecem exibir um defeitinho, que parecem inacabadas?
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgiEj8KY7ewh9m4ufW5vw-yS3lk82dv3MgbvMLFQAwpr8MIePHzMR716lZMde2PjGqFy4LYi894uV7Lgg3ID4ZIsiLoIH7i-6nL-m6ri3WGlTJzE4n0Dm196W-SXDvyr8M0kREoRwtIfGiD/s400/kaprekar3.jpg)
E aí, Mister Pra Quê, por que estamos estudando isso? Bem, as aplicações práticas da matemática nem sempre são utilizadas de pronto. Mas servem para ampliar nossa visão do universo e podem ajudar a desvender mistérios em campos inesperados.
Além disso, pode render assunto para um bom bate-papo com a turma. Afinal, se a resposta para a pergunta fundamental sobre a vida, o universo e tudo mais é o número 42, (vide a obra O Mochileiro das Galáxias) imagine o número 6174. ;-D
Muito interessante e informativa a sua postagem.
ResponderExcluirNão tinha conhecimento da Constante de Kaprekar, e gostei de saber detalhes sobre o assunto.
Gostei do seu Blog e estou seguindo.
Bjs.
Tentem com o 1002. ;)
ResponderExcluirÉ igual ao 2010:
ResponderExcluir2100 - 0012 = 2088
8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174
Como usar essa tése ?
ResponderExcluirNão sei se entendi bem a sua pergunta mas essa curiosidade matemática poderia ser usada em jogos onde você conhece de antemão a tendência de ocorrer certos fatos mas mantendo a aleatoriedade no sorteio dos eventos. Imagine um interessante jogo de War onde o número de exércitos a ser colocado se basearia no número operações que um número sorteado de 4 dígitos levaria até atingir a tal constante. Assim você saberia que grande parte dos países teria três exércitos (uma ótima defesa nas regras do War, que é o número mínimo de unidades que permite usar três dados e que leva a vantagem do empate contra o ataque). Mas teríamos muitos com no máximo 7 exércitos (o que talvez ainda torne o jogo interessante, sem um excesso de unidades). Poderia se modificar um pouco as regras obrigando a todos atacarem enquanto tiverem unidades para tal, por exemplo. Levando a um jogo mais rápido, já que a longa duração é uma reclamação comum desse jogo. Isso só para citar um exemplo rápido de aplicação.
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