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6174 (Constante de Kaprekar)

Quer conhecer um número misterioso? Conheça a constante de Kaprekar. A constante de Kaprekar recebe esse nome em homenagem ao matemático ...

Quer conhecer um número misterioso? Conheça a constante de Kaprekar.

6174

A constante de Kaprekar recebe esse nome em homenagem ao matemático indiano Dattaraya Ramchandra Kaprekar (1905 – 1986) que descobriu uma curiosa propriedade envolvendo esse número. Vamos aos fatos:

Constante de Kaprekar

Considere os seguintes procedimentos:

  1. Pegue qualquer número natural de 4 dígitos, que tenha no mínimo dois dígitos diferentes (pode lançar mão de zeros à esquerda)
  2. Arrange os dígitos em ordem ascendente e depois em ordem descendente de forma a obter dois número com quatro dígitos cada. Coloque zeros à esquerda se necessário.
  3. Subtraia o menor número do maior.
  4. Volte ao passo dois e processe o resultado.


Os passos acima são conhecidos como rotina de Kaprekar, o resultado sempre chegará ao número 6174 se executarmos essa rotina até 7 (sete) vezes.

Os únicos números de 4 dígitos que não chegariam no número 6174 se submetidos a essas operações são os números que têm todos os dígitos iguais, tais como o 1111, o 2222 etc. Pois a operação de subtração (do passo 3) daria sempre 0 (zero).

Por exemplo, imagine que seja escolhido o número 2010. Aplicando a rotina Kaprekar teríamos:

2100 - 0012 = 2088
8820 - 0288 = 8532
8532 - 2358 = 6174


Ou seja, chegamos ao número 6174 em apenas 3 (três) operações.

Mas, chama a atenção o fato de que jamais ultrapassamos 7 (sete) operações. Como ocorre com o número 3495:

9543 - 3459 = 6084
8640 - 0468 = 8172
8721 - 1278 = 7443
7443 - 3447 = 3996
9963 - 3699 = 6264
6642 - 2466 = 4176
7641 - 1467 = 6174


Assim, poderíamos indagar, como é a distribuição do número de operações de subtração que deve ser realizado para se atingir a constante de Kaprekar? Será homogênea?

Aí nosso laboratório computacional entrou em cena. O primeiro teste comprovou ser essa regra válida dentre os 10 mil números de 4 (quatro) dígitos (de 0000 até 9999).

Depois vimos como era a frequência de ocorrência do número de operações para cada valor, vimos que as ocorrências de operações são crescentes, e de forma mais ou menos linear, em direção ao número 7. Com a exceção do 3, que é um pico inesperado, com um total de ocorrências ainda maior que a do próprio 7 (veja o gráfico).



Compare com uma função randômica (onde valores entre 1 e 7 são sorteados para cada valor da sequência entre 0 e 9999, saltando o valores que tenham todos os dígitos repetidos).



É notável também, que há uma certa ordem no caos, na distribuição do números de subtrações realizadas, ao longo da série. Mas nada que pudéssemos chamar de simetria de fato.



Sabe aquelas obras que são até bonitinhas mas que parecem exibir um defeitinho, que parecem inacabadas?



E aí, Mister Pra Quê, por que estamos estudando isso? Bem, as aplicações práticas da matemática nem sempre são utilizadas de pronto. Mas servem para ampliar nossa visão do universo e podem ajudar a desvender mistérios em campos inesperados.

Além disso, pode render assunto para um bom bate-papo com a turma. Afinal, se a resposta para a pergunta fundamental sobre a vida, o universo e tudo mais é o número 42, (vide a obra O Mochileiro das Galáxias) imagine o número 6174. ;-D

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