A Conjectura de Poincaré e o gênio indomável que a resolveu

Conheça a Conjectura de Poincaré, o problema matemático que pagava 1 milhão de dólares a quem a resolvesse, e o russo genial que o resolveu,...

Conheça a Conjectura de Poincaré, o problema matemático que pagava 1 milhão de dólares a quem a resolvesse, e o russo genial que o resolveu, e recusou o dinheiro. 

O Clay Mathematics Institute, uma organização dedicada à promoção e avanço da matemática, selecionou sete problemas desafiadores que são considerados alguns dos maiores enigmas não resolvidos na matemática moderna. E esses são os problemas conhecidos como os “Sete Problemas do Milênio”:

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• Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer
• Esta conjectura está relacionada à teoria dos números e envolve a conexão entre pontos racionais em uma curva elíptica e a existência de soluções racionais para certas equações polinomiais.
• Conjectura de Hodge
• Esta conjectura pertence à área da geometria algébrica e está relacionada às propriedades dos espaços complexos projetivos. Ela busca estabelecer uma relação entre a geometria algébrica e a topologia.
• Conjectura de Navier-Stokes
• Este problema está relacionado à física matemática e busca entender o comportamento do fluxo de fluidos incompressíveis. A conjectura envolve a existência e regularidade de soluções para as equações de Navier-Stokes.
• Hipótese de Riemann
• Esta conjectura está relacionada à teoria dos números e envolve a distribuição dos números primos. Ela busca estabelecer padrões na localização dos zeros não triviais da função zeta de Riemann, que está intimamente ligada aos números primos.
• Equações de Yang-Mills
• Este problema pertence à física matemática e está relacionado à teoria quântica de campos. A conjectura envolve a existência e regularidade de soluções para as equações de Yang-Mills, que descrevem as interações entre partículas elementares.
• Conjectura de P versus NP
• Esta é uma das conjecturas mais famosas na ciência da computação e tem implicações profundas para a teoria da computação. Ela questiona se problemas cujas soluções podem ser verificadas rapidamente também podem ser resolvidos rapidamente.
• Conjectura de Poincaré
• Esta conjectura pertence à topologia e envolve a classificação de variedades tridimensionais simplesmente conexas.

Esses problemas são extremamente complexos e têm desafiado os melhores matemáticos ao redor do mundo há décadas. Resolver qualquer um desses problemas seria um avanço significativo na matemática e o Clay Mathematics Institute oferece um prêmio de 1 milhão de dólares para quem conseguir resolvê-los.

Pois de todos esses apenas um foi resolvido até o momento. É um problema fascinante que tem ocupado a mente de matemáticos por mais de um século. 

A Conjectura de Poincaré foi proposta pelo renomado matemático francês Henri Poincaré em 1904. um gênio universalista do final do século XIX e início do séc. XX. Ela pertence ao campo da topologia, que estuda as propriedades dos espaços e formas geométricas. 

A conjectura de Poincaré afirma o seguinte: Se uma variedade tridimensional fechada (ou seja, uma forma geométrica compacta e sem fronteiras) é simplesmente conexa (ou seja, todos os laços dentro dela podem ser deformados continuamente até um ponto), então essa variedade é homeomorfa a uma esfera tridimensional.

Em termos mais simples, a conjectura de Poincaré trata da classificação das variedades tridimensionais simplesmente conexas. Ela afirma que, se uma variedade tridimensional não possui "buracos" topológicos e todas as suas partes estão conectadas de forma contínua, então ela deve ser uma esfera tridimensional.

Ou nas palavras do próprio Clay Institute – afinal, é difícil até mesmo entender o problema para os não iniciados:

Se esticamos um elástico ao redor da superfície de uma maçã, podemos encolhê-lo até certo ponto movendo-o lentamente, sem rasgá-lo e sem permitir que ele saia da superfície. Por outro lado, se imaginarmos que o mesmo elástico foi de alguma forma esticado na direção apropriada em torno de um donut, então não há como encolhê-lo até um ponto sem quebrar o elástico ou o donut. Dizemos que a superfície da maçã está “simplesmente conectada”, mas a superfície do donut não está.

Poincaré acreditava que toda variedade compacta tridimensional simplesmente conexa é homeomorfa a uma 3-esfera. Homeomorfismo é um conceito importante na topologia que descreve uma relação especial entre dois espaços topológicos. Basicamente, um homeomorfismo, termo cunhado por Poincaré, é uma correspondência entre esses espaços que preserva certas propriedades topológicas.

Para entender melhor, vamos imaginar dois objetos: um donut e uma xícara de café. Embora possam ter formas diferentes, eles têm características topológicas semelhantes. Assim, se aplicarmos a operação de homeomorfismo, isto é, deformarmos a forma da xícara de café de forma contínua é possível se chegar na forma da rosquinha (tórus). Porém não é possível se chegar na forma de uma esfera, sem rasgar superfície da xícara.

Poincaré acreditava que formas sem esses buracos, como o que ocorre na alça de uma caneca, por exemplo, poderia se transformar em uma esfera tridimensional por serem homeomorfas. Essa era a conjectura. O problema era provar isso algebricamente. 

A importância da Conjectura de Poincaré é insofismável. Ela representa um dos problemas mais desafiadores e influentes da matemática moderna e por isso foi incluída na lista dos sete maiores problemas matematicos do milênio do Clay. Quase 100 anos depois, no entanto, em 2003, um matemático russo chamado Grigori Perelman publicou uma série de artigos em um site de pré-prints que apresentavam uma prova da Conjectura de Poincaré.

Em novembro de 2002, Grigori Perelman publicou a primeira de três partes do artigo intitulada “A fórmula de entropia para o fluxo de Ricci e suas aplicações geométricas” em arXiv, no qual delineava uma solução da Conjectura de Poincaré. A comprovação de Perelman utiliza uma versão modificada do fluxo de Ricci. O texto tinha 39 páginas e era assinado por Grisha Perelman.

• Perelman, Grisha (11/nov/2002). «The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications». [Arxiv ##file##] 
• Perelman, Grisha (10/mar/2003). «Ricci flow with surgery on three-manifolds». [Arxiv ##file##]
• Perelman, Grisha (17/jul/2003). «Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds». [Arxiv ##file##]

Sua prova foi altamente complexa, envolvendo avançados conceitos de geometria riemanniana e topologia. Perelman desenvolveu novas técnicas matemáticas para enfrentar o problema, conquistando o reconhecimento da comunidade matemática por sua notável contribuição.

O fato de não publicar em nenhum periódico científico (sites de pré-prints são repositórios de prévias de artigos ainda não publicados nem revisados por pares) sem detalhar muito como chegou na solução (o que, felizmente, acabou impedindo que outros oportunistas reinvindicassem sua autoria) já indicava um comportamento heterodoxo de Grisha, como também é conhecido o matemático russo Gregori Perelman. 

Em 2006, Perelman foi agraciado com a Medalha Fields, a mais prestigiosa premiação na matemática. No entanto, ele recusou o prêmio, demonstrando seu distanciamento do sistema acadêmico e seu desejo de evitar a fama e a publicidade. Sua recusa em receber o prêmio trouxe à tona sua personalidade reclusa e sua aversão à atenção pública

Alma de matemático raiz

Perelman já era conhecido na comunidade matemática por ter provado a "conjectura da alma" em 1994. Ele passou um tempo nos EUA, mas voltou para São Petersburgo, onde sentiu que seu trabalho fluía melhor. Embora tenha recebido ofertas de cargos em universidades renomadas como Stanford e Princeton, ele optou por um cargo de pesquisa no petersburguês Instituto Steklov, que pagava menos de US$ 100 por mês.

Durante sua estadia nos EUA, Perelman se interessou pelo trabalho de Richard Hamilton, um matemático americano que havia publicado um artigo sobre a "fluxo de Ricci", uma equação que se acreditava poder provar a Conjectura de Poincaré. Perelman assistiu a várias conferências de Hamilton e tentou colaborar com ele, mas Hamilton não deu muita atenção às ideias de Perelman.

Perelman acabou trabalhando sozinho e publicando na internet, em 2002, o resultado de seus esforços. Embora o artigo não mencionasse Poincaré, quatro anos depois, a comunidade matemática chegou ao consenso de que Perelman havia resolvido a Conjectura de Poincaré.

Sua resolução tem profundas implicações para a ciência. De acordo com especialistas consultados pela BBC, ela permite que se faça um catálogo de todas as formas tridimensionais possíveis no Universo, o que significa que poderíamos descrever a forma do próprio cosmos.

Após a resolução do problema, Perelman recusou várias ofertas de prêmios, cargos, honrarias, pagamentos em dinheiro, convites para conferências e fundos de pesquisa, que considerou "profundamente ofensivas". Ele rejeitou a Medalha Fields, um prêmio da Sociedade Matemática Europeia e o prêmio de um milhão de dólares do Instituto Clay. Certa vez ele afirmou: 

“Se a teoria está correta, não necessita de outro tipo de reconhecimento.”

Perelman se aposentou e vive como um semi-recluso com sua mãe em um modesto apartamento em São Petersburgo. Ele raramente sai de casa, exceto para comprar itens básicos ou para assistir à ópera e a concertos de música clássica. Ele expressou desinteresse em dinheiro ou fama e disse que não queria ser “exposto como um animal em um zoológico”. Ele parece estar mais interessado em provar teoremas do que em ganhar prêmios. Embora parece ter abandonado até a matemática após pedir demissão da Universidade onde trabalhava. A comunidade de matemáticos lamenta e espera que Perelman surpreenda a todos um dia com um novo artigo e, quiçá, uma nova descoberta.

Fonte: BBC, BBC [2], Clay Institute
Visto no Brasil Acadêmico