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Integrais

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Continuando com a introdução ao cálculo, o canal Crash Course expõe agora sobre as integrais.

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Se você assistiu nosso último episódio − e, por favor, se ainda não, por favor assista! … você agora sabe tudo sobre derivadas, e como usá-las, para descrever como uma grandeza varia. Isto significa que agora podemos falar sobre a outra parte do cálculo - basicamente, a inversa das derivadas, o que chamamos de integrais.


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Integrais são úteis porque elas também nos dizem muito sobre uma equação: se você fizer o gráfico de uma equação, a integral é igual a área entre a curva e o eixo horizontal.


Encontrar uma integral não é tão simples quanto encontrar a derivada, mas, assim como as derivadas, existem atalhos que podemos usar para tornar as coisas um pouco mais fáceis.

Nós até poderemos usar integrais para falar como as coisas se movem, especificamente, a equação que nós até agora chamamos de curva de deslocamento, e porque ela tem a aparência que conhecemos.

Então vamos começar! [Música Tema]

Imagine que você queira saber o quão alto fica a sua janela a partir do solo do lado de fora.

Mas você não tem nada que possa usar para medir − somente uma bola, um aplicativo de cronômetro no seu celular, e seu impressionante conhecimento de física.

A força da gravidade é o que faz a bola cair, então você sabe que a aceleração é g 9.81 m/s2, para baixo.

Mas você está tentando encontrar a variação na posição - o quanto ela cai.

Nós já gastamos um bom tempo falando sobre a conexão entre as propriedades do movimento: posição, velocidade, e aceleração.

Mas até agora, nós estivemos descrevendo esta conexão em uma direção particular: velocidade é a derivada da posição - isto é, uma medida da sua variação - e a aceleração é a derivada da velocidade.

Para determinar o quanto a bola cai, você precisa usar a inversa daquela conexão.

Expressando matematicamente, isto significa que a velocidade é a integral da aceleração, e a posição é a integral da velocidade.

Em outras palavras: se você desenhar estas equações em um gráfico, a velocidade é igual à área abaixo da curva de aceleração, e a posição é a área abaixo da curva de velocidade.

Encontrar esta área é a parte mais complicada.

Existem formas simples de encontrar a área de praticamente qualquer forma, na medida em que ela for composta de linhas retas e cantos.

E quando você pensa sobre isso, uma curva é somente um conjunto de infinitamente pequenas linhas retas.

Então a área abaixo de uma curva pode ser dividida em um conjunto de infinitamente pequenos retângulos.


Integrais lhe diz o que acontece quando você divide a área abaixo da curva em retângulos infinitamente pequenos, pega a área de cada um deles, e as soma.

Então, como determinar a integral? Bem, você começa usando o fato de que integrais são basicamente o OPOSTO das derivadas.

Se você sabe que a sua velocidade é igual a duas vezes o tempo, por exemplo, então você sabe a derivada da posição.

Então, para encontrar a equação para a sua posição, você precisa somente procurar por uma equação cuja derivada é 2t … algo como x = t2, por exemplo.

Nós meio que demos uma volta aqui, se compararmos com o caso das derivadas onde nós pudemos calcular diretamente de forma nítida.

Mas não há uma equação limpa que possamos usar para qualquer integral que quisermos.

Mas! Assim como com derivadas, EXISTEM alguns atalhos para determinar algumas, que sejam úteis.

Por exemplo, você pode pegar a regra do tombo que usamos em derivadas, e usá-la ao contrário.

Basicamente: você adiciona um ao expoente, e divide a variável por aquele número.


Então a integral de $2t$ - que é escrita assim - vira $t^2$.

Da mesma forma, a integral de 42t5 é 7 7t6.

Você também usar nas derivadas das funções trigonométricas de que falamos, e fazê-las ao contrário.

A integral de $cos(x)$ é $sen(x)$, e assim por diante.

E a integral de $e^x$ é somente $e^x$.

Mas há uma única complicação da qual ainda não falamos - talvez você até já tenha percebido: constantes.

Uma constante é somente um número.

Pode ser LITERALMENTE um número - como 2, meio, ou -4.

Ou ela pode ser uma letra usada pra representar um número, como g minúsculo, que usamos para representar a aceleração causada pela gravidade.

E constantes trazem um problema quando falamos de integrais porque:

A derivada de uma constante é simplesmente "0".

Afinal de contas, uma derivada é a taxa da variação.

Então uma constante, que, por definição NÃO VARIA, sempre terá a derivada igual a zero.

O que significa que várias equações diferentes - na verdade, um número infinito delas - tem a mesma derivada.

Como, por exemplo, a derivada de t2 é 2t.

Mas você pode adicionar QUALQUER número - ou uma letra representando um número - e a derivada continuará a ser 2t.

Então a derivada de t2 + 1 também é 2t.

O mesmo vale para t2 - 7.

Isto significa: se você está olhando para a integral de uma equação como x = 2t, você tem ESCOLHAS INFINITAS, todas igualmente corretas.

t2 funcionaria, mas também t2 + 1 … ou t2 - 7 … ou t2 + 0.256.

Nestes casos, em que nós precisemos saber qual a forma que a integral deve assumir em um gráfico - como, quando é uma linha reta, ou como ela se curva - mas não sabemos onde colocá-la no eixo vertical.

Então precisamos conhecer qual o valor desta constante se quisermos saber onde devemos começar a desenhar a nossa integral.

Qualquer que seja a constante, este é o ponto onde a curva deve interceptar o eixo vertical.

Então t2 interceptaria em 0, mas t2 - 7 interceptaria em -7.



Essa é a ideia.

Matemáticos tiveram que descobrir como contornar o problema de como escolher entre um número infinito de integrais, então eles vieram com uma forma de representar TODAS elas.

É só adicionar um C no fim dela.

Este C representa todas as constante que poderíamos colocar lá.

Então, se dizemos que a integral de 2t é t2 + C, então estamos incluindo t2 + 1 e t2 - 7 e todas as outras infinitas opções - ou seja, toda equação cuja derivada é 2t.

Mas de vez em quando você não precisa de C nenhum, porque você pode determinar onde sua integral deve estar no eixo y.

Como se você tem o que é conhecido por VALOR INICIAL.

No caso do gráfico da posição, por exemplo, o valor inicial seria onde você começou, então você saberia onde desenhar o restante do gráfico dali mesmo.



Digamos que você começou na marca de 2 metros, e se moveu um metro a cada segundo, você teria que colocar o gráfico aqui.

Mas se você começou na marca de 4 metros, você teria que deslocar um pouco isto tudo para cima. Basicamente, ela te dá o ponto onde a sua integral intercepta o eixo vertical - que é o valor C.

Vamos tentar isso, e, ao mesmo tempo, nós poderemos determinar a altura da sua janela.

Você está parado na janela, segurando uma bola de tênis de fora da janela com seu braço paradinho.

Agora você solta a bola e aciona o cronômetro do seu celular ao mesmo tempo.

Você descobre que a bola leva 1.7 segundos para atingir o chão.

Como disse anteriormente, sabemos que a aceleração da bola - 9.81 m/s2 - e sabemos o tempo envolvido.

De alguma forma, nós temos que partir daí para a equação da posição da bola.

Então, primeiro, encontremos sua velocidade - o passo do meio - ao tomarmos a integral da sua aceleração.

Dê uma olhada neste gráfico da aceleração da bola em função do tempo.


Ela é somente uma linha reta paralela a x, o que significa que é bem fácil encontrar a área entre ela e o eixo x.

É um retângulo! E a área de um retângulo é somente sua base vezes sua altura.

Neste caso, a base vale t, o tanto de tempo que a bola levou para cair.

E a altura é a, a aceleração.

Então, a área entre o gráfico de aceleração e o eixo horizontal é somente (a) vezes (t).

E a integral é (a) vezes (t), mais uma constante que adicionamos − C.

Agora, nós precisamos de C, porque sabemos a forma geral do gráfico de velocidade: É uma reta diagonal inclinada de tal forma que, a cada segundo, ela cresce pelo mesmo tanto que a aceleração.

Mas ainda não sabemos ONDE COLOCAR aquela linha no eixo vertical. Não ainda...

Agora, nós poderíamos ter determinado a integral da aceleração igualmente simples ao usar a regra do tombo: A aceleração, a, é uma constante, mas nós poderíamos dizer que é (a)x(t0) - porque qualquer coisa elevada à potência 0 é 1.

Então, de acordo com a regra do tombo, a integral da aceleração - que é igual a velocidade - seria igual a aceleração, multiplicada pelo tempo, mais C.

Esta é a mesma resposta que nós obtivemos anteriormente! Agora, aqui é onde o valor inicial aparece.

O gráfico de velocidade te diz qual é a velocidade para cada instante de tempo.

Mas nós tivemos que adicionar C, porque nós não sabíamos onde colocá-la no eixo vertical - quando o tempo vale zero! Então, a integral da aceleração PODERIA ter sido somente (aceleração)x(tempo), ou (a)(t).

Mas também poderia ter sido (at) + 4 ou (at) - 6.

Então, ao invés disso, colocamos C para representar todas estas opções.

$v = at + C$

Mas podemos nos livrar daquele C se soubermos a velocidade no instante de tempo igual a zero - o que chamamos de v0.

E se escrevermos nossa equação com aquele v0 nela, como uma representação para a velocidade quando o tempo vale zero, nós terminamos com a equação completa para a velocidade.

$v = at + v_0$

Aquilo deveria parecer familiar, porque é uma das equações cinemáticas ($v = v_0 + at$) a definição de aceleração! Olha como as coisas funcionam de forma elegante.

$v = 0 + 9,8 \frac{m}{s^2}(1,7s) = 16,7\frac{m}{s}$

Esta equação nos diz que a velocidade final da nossa bola de tênis que estava caindo, quando ela atinge o chão, era de 16.7 m/s para baixo.

Mas ainda não acabamos. Estamos atrás de uma forma para conectar a aceleração com a POSIÇÃO.

Então precisaremos dar mais um passo integrando tudo de novo.

Existem algumas formas diferentes de fazer isso, mas vamos usar somente a regra do tombo.

A integral de $(at)$ é $(\frac{1}{2})(at)^2$ e a integral de v0 é somente v0*t.

Juntando tudo, você acaba com isso, o que começa a parecer muito com OUTRA equação cinemática - a qual chamamos de curva de deslocamento.


$v_0 + (\frac{1}{2})(at)^2$

Agora, e sobre aquele C? Bem, assim como antes na velocidade inicial, a posição inicial nos dirá onde colocar esta equação no eixo vertical.

Então nós faremos C igual a posição inicial, o que chamaremos de x0.

E esta é nossa integral - a equação da curva de deslocamento.


$x - x_0 = v_0 + (\frac{1}{2})(at)^2$

O que significa que, agora, nós temos tudo o que precisamos para determinar, o quão alto sua janela é.

A velocidade inicial é zero. Porque você somente soltou a bola sem a jogar.

A aceleração é 9.81 m/s2.

E ela levou 1.7 segundos para atingir o chão.


$x - x_0 = 14.17m$

E agora você sabe tudo o que precisa de cálculo!…

Não, não sabe! Como você pode imaginar, nós nem arranhamos a superfície aqui - existe uma razão pela qual normalmente leva-se dois semestre de universidade, só para cobrir o básico.

E, você sabe, algumas pessoas passam a vida inteira estudando este tipo de coisa.

Mas nós pelo menos estabelecemos material o suficiente, para quando de fato essas coisas aparecerem no curso, conseguir usar o que cobrimos aqui, para falar sobre eles.

Hoje, aprendemos que integrais são a área entre a curva de uma equação num gráfico com o eixo horizontal.

Nós também aprendemos alguns atalhos para ajudar a achá-las, e como encontrar C usando o valor inicial.

Fonte: Crash Course
[Visto no Brasil Acadêmico]



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