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Derivadas

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Uma visão de como a física se vale da matemática para ser comunicada por meio de uma linguagem universal.

Uma visão de como a física se vale da matemática para ser comunicada por meio de uma linguagem universal.

Toda disciplina da ciência tem sua linguagem própria - a forma como comunica as ideias que ela investiga. Por exemplo, a Biologia encontra ordem no mundo ao dar para cada ser vivo um nome, em Latim.


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A Química tem um sistema de prefixos, sufixos e numerais para lhe dizer, em uma palavra ou duas, a composição exata de um átomo, ou um composto.

Mas a Física tem de comunicar suas ideias de forma diferente.

A linguagem da Física, é a Matemática.

Porque, se você estiver tentando descrever como o mundo funciona, você tem que saber exatamente como as coisas se relacionam umas às outras de uma forma matemática.

Por exemplo, nós estivemos tratando bastante a respeito da posição, velocidade, aceleração e como elas estão todas conectadas.

Velocidade é uma medida da mudança na posição, e aceleração é uma medida da mudança na velocidade.

Elas estão conectadas - uma qualidade vai descrever como a outra estará mudando.

E a forma de descrever mudanças em matemática é através do Cálculo.

O Cálculo explica como e porque as coisas mudam, usando derivadas, o que ajuda a determinar como uma equação está mudando, assim como integrais, que você pode usar para calcular a área abaixo de uma curva.

Derivadas e integrais em si estão conectadas de muito perto.

Mas comecemos com as derivadas.

Você provavelmente não estará apto para ir diretamente desta lição para o seu exame de cálculo final.

Mas, com sorte, em apenas 10 minutos, você estará APTO a entender uma parte da matemática que cientistas tem utilizado para pensar sobre física, por pelo menos 400 anos.

E você TAMBÉM terá uma NOVA forma de disputar multas de velocidade.

Você sabe… vai que precisa.

[Música Tema] No último episódio, falamos sobre um infeliz incidente onde você levou uma multa por velocidade.

O seu velocímetro estava quebrado, mas por que sabíamos sua aceleração, nós pudemos calcular o quão rápido você estava andando quando os policiais o pararam.

Então agora, vamos falar sobre o que acontece em seguida.

Digamos que a polícia saia de cena. Você está pronto para retornar à pista, então você pisa fundo movendo-se cada vez mais rápido.

Mas neste cenário, não sabemos sua aceleração - sabemos somente o quanto a sua POSIÇÃO muda em função do tempo.

E neste exemplo, sua posição acaba por ser igual à quantidade de TEMPO que você esteve dirigindo, elevado ao quadrado.

Então poderíamos escrever isto através da equação x = t2.

20 s se passam, você passa por um radar com um sinal que lhe diz sua velocidade.

Você continua a dirigir o pé ainda no acelerador, antes de perceber o número que você viu no radar E… Ah Não! Você ACABOU de ganhar uma multa por velocidade no último episódio, por dirigir a 126 km/h em uma zona de 100 km/h e agora o radar diz que você estará cada vez mais RÁPIDO!

Agora você quer saber se o número no detector está correto - em outras palavras, você quer encontrar sua velocidade no exato momento em que você passou pelo radar.

Esta velocidade é só uma medida da variação na posição - sua derivada.

Então, para determinar sua velocidade, precisaremos encontrar a derivada da sua posição.

E para determinar ISTO, primeiro precisamos falar sobre limites.

E não limites de velocidade - quero dizer do tipo de derivadas.

(pausa) Vou explicar…
Limites são baseados na ideia de que se você tem uma equação em um gráfico, você pode prever com frequência o que estará acontecendo em algum ponto, somente por saber como os pontos vizinhos estão se comportando.
Por exemplo: digamos que você tenha um gráfico de x=t2 - do nosso cenário de aceleração acima - e você deseja saber como a sua posição está mudando no exato momento em que o tempo é igual a zero.

Isto é o que nós chamaremos de limite em que t vai a zero.[03:12 ##film##]

Então você olha para o que está acontecendo ao redor de t=0.

Em t = 1, x é 1.
Em t = 0,5, x é 0,25.
Em t = 0,1, x é 0,01.

Você provavelmente pode me dizer que quando chegamos cada vez mais perto de t = 0, o seu valor de x estará cada vez mais perto de zero também.

Isto é o que o matemáticos querem dizer quando falamos sobre limites.
Limites são úteis porque podem ajudar a prever o que acontece à medida que os intervalos ficam cada vez menores.
Um intervalo é só uma faixa em um gráfico. É o espaço entre dois pontos no eixo horizontal.-[00:03:37 ##film##]

Então a primeira coisa que podemos tentar é calcular sua velocidade média sobre o intervalo compreendido entre 15 e 20 s.

Para fazer isso nós usaremos uma equação da qual falamos no último episódio - sua velocidade média.


O que é igual a sua variação na posição dividida pela variação no tempo.

Isso acaba sendo igual a 35 m/s.

O problema é que é só uma média.

Não é exatamente o quão rápido você está indo depois de 20 s de aceleração, depois de você passar do radar.

Porque, através dos limites, sabemos que você pode ir cada vez mais próximo do número certo ao calcular a sua média sobre um intervalos cada vez menores Então você veria que o número parece chegar mais e mais próximo a 40 m/s.

O que significa que você precisará desacelerar pra caramba se não quiser levar a segunda multa por velocidade do dia.

Esta é a ideia de derivadas:
Você pode usar intervalos infinitamente pequenos para determinar exatamente como uma equação está mudando em qualquer momento.
Você pode até obter uma equação para descrever a variação.

Isto é exatamente o que é a velocidade! Uma equação que descreve a variação na posição.

Uma aceleração descreve variação na velocidade.
Nós chamamos de velocidade a derivada da posição, e aceleração a derivada da velocidade.
Agora, a respeito de como expressar a derivada ao escrever, matemáticos vieram com alguns atalhos.

Como a que é conhecida por Regra do Tombo.

Regra do Tombo

Ela é usada em equações onde as variáveis são elevadas a potências, ou expoentes.

Desde que o expoente seja um número. Por exemplo, a regra do tombo funcionaria sobre x igual a t ao quadrado.

Porque "t" é elevado à potência 2.

A regra do tombo diz que, para estes tipos de equações, para calcular a derivada tudo o que você precisa é de um simples truque.

Pegue o número desse expoente, neste caso "2", e o coloque à frente da variável.

Depois você subtrai "1" do expoente.

E isto é a sua derivada! Então a derivada de x = t2 é somente 2t - o que significa que não importa quantos segundos você pisou fundo - a sua velocidade será 2t, ou seja, o dobro do número de segundos.

Depois de 5 s, você estará indo a 10 m/s mas depois de 20 s você estará andando a 40 m/s o que não é muito bom.

Nós escrevemos isto desta maneira, dx sobre dt é só uma maneira de dizer que estamos tomando a derivada da parte da equação que envolve "t".

Ou, como um matemático colocaria, estamos tomando a derivada de "x" com respeito a "t".

Frequentemente você também vê isto escrito de uma forma diferente Se "f" de "t" é igual a "t" ao quadrado, então "f-linha" de "t" é igual a "2t".

Agora, vamos tentar encontrar mais algumas derivadas usando a regra do tombo.

x igual a 7t elevado à sexta potência é uma outra equação do tipo potência Tele tem a variável "t" elevada a 6 com um número na frente, 7.

A primeira coisa que fazemos é pegar o expoente e o colocar na frente da variável.

Mas já há um número na frente de t, 7.

Então, teremos que multiplicá-los.

Sete vezes seis é 42 e depois nós subtraímos "1" do expoente em que "t" é elevado.

Então nós terminamos com 42 elevado a 5.

O mesmo vale para equações onde os expoentes são frações de dez.

Então a derivada de "t" elevado a meio é: meio "t" elevado a menos "1/2".

Também funciona para expoentes negativos também.

A derivada de t elevado a menos 2 é somente menos 2t elevado a menos 3.

Agora, existem mais algumas equações em que você também deveria entender as derivadas Trigonometria - que usamos para calcular os ângulos e o tamanho dos triângulos - aparecerá bastante em Física porque estaremos usando triângulos retângulos toda hora.

Sobre uma boa ideia em como encontrar as derivadas de seno e cosseno: O seno te diz que - se você tiver um triângulo retângulo, onde x é um ângulo neste triângulo - então o seno de x será o comprimento do lado oposto ao ângulo divido pela hipotenusa O cosseno faz a mesma coisa exceto que você usa o lado JUNTO ao ângulo divido pela hipotenusa.

Então, os lhe dirão o quê essas razões serão dependendo do ângulo Na verdade podemos tentar adivinhar a derivada de seno só ao olhar a este gráfico.

Você pode ver que a curva tem pontos de inflexão de vez em quando.

Em x = - 90º, x = 90º e assim por diante.

Repetindo a cada 180º.

Isto significa que nestes pontos a equação não está mudando nada! Então a derivada nestes pontos de inflexão serão exatamente iguais a zero.

Vamos construir um outro gráfico onde colocaremos a derivada e pequenos pontos onde saberemos que será zero.

Agora, o que está acontecendo entre estes pontos de inflexão? Bem… de -270 até -90: o seno está decrescendo.

Em outras palavras, a sua variação, e, portanto, a sua derivada precisa ser negativa.

Logo, de -90 até +90, o seno está crescendo, então terá uma derivada positiva.

E assim por diante.

Na verdade, existem bem mais pistas para nos ajudar a encontrar a derivada.

Mas já sabemos o suficiente para fazer uma boa tentativa.

Se conectamos suavemente os pontos de nosso gráfico da derivada - mantendo em mente onde a curva deve ser positiva e onde ela deve ser negativa - Ei!, esta derivada está se parecendo muito com o gráfico do cosseno.

Isto é porque ela é! A derivada do seno é somente o cosseno.

E isto aparecerá a todo momento.

E também estas - que você pode descobrir por sua conta somente repetindo o que acabamos de fazer com o seno e cosseno de x.

Outra derivada importante que aparece bastante é um caso bem especial.

E isto é "e" elevado a x.
A derivada de ex é somente ex
Sim! E é isto! Não importa o que seja.

De fato, existe uma forma de definir isto! O que é meio que Pi.

No sentido que uma simples letra representando um número irracional muito específico, aproximadamente 2.718 mas com mais dígitos depois da vírgula que continua infinitamente.

Ele tem todo tipo de uso em Cálculo mas também aparece quando se está estudando coisas como finanças e probabilidade.

Com todas essas formas de encontrar derivadas, você pode muito bem pegar qualquer equação da sua posição e determinar a sua derivada e, portanto, sua velocidade.

Da mesma forma você pode pegar a derivada da sua velocidade e encontrar a sua aceleração. Mas ainda tem um monte de outras partes do Cálculo da qual ainda não falamos até agora: Integrais.

O que deixa você fazer o processo inverso.

Com integrais, você pode usar a sua aceleração para determinar a sua velocidade.

E a sua velocidade para determinar a sua posição.

Mas deixaremos isto para depois.

Hoje aprendemos sobre Limites e sobre derivadas.

E os usamos para descrever o quando uma equação está mudando.

Também falamos sobre alguns tipos de derivadas: potências, constantes, trigonometria e ex.



Gostou? Veja também o vídeo sobre Integrais.

Fonte: Crash Course
[Visto no Brasil Acadêmico]

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