A magia dos números de Fibonacci

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A matemática é lógica, funcional e simplesmente... fantástica. O matemágico Arthur Benjamin explora propriedades ocultas daquele conjunto de...

A matemática é lógica, funcional e simplesmente... fantástica. O matemágico Arthur Benjamin explora propriedades ocultas daquele conjunto de números estranhos e maravilhosos, a série de Fibonacci. (E ressalta que a matemática pode ser também inspiradora!)



Então, por que aprendemos matemática? Essencialmente por três razões: cálculos, aplicação, e por último e infelizmente menos importante, em termos do tempo que dedicamos, inspiração.



Matemática é a ciência dos padrões, e nós a estudamos para aprender a pensar logicamente, criticamente e criativamente, mas muito da matemática que aprendemos na escola não é efetivamente motivado, e quando nossos alunos perguntam: "Por que estamos aprendendo isto?", eles normalmente ouvem que vão precisar numa próxima aula de matemática ou num teste. Mas não seria ótimo se, de vez em quando, fizéssemos matemática simplesmente porque ela é divertida e bonita, ou porque ela aguça a mente? Sei que muitas pessoas não tiveram a oportunidade de ver como isso acontece, então deixem-me lhes dar um rápido exemplo com meu conjunto de números favorito, os números de Fibonacci.

(Aplausos)

Isso aí! Já vi que há alguns fãs de Fibonacci aqui. Isso é ótimo.

Bem, esses números podem ser apreciados de vários jeitos diferentes. Do ponto de vista do cálculo, eles são tão fáceis de entender como 1 + 1, que é 2. E 1 + 2 que é 3, 2 + 3 é 5, 3 + 5 é 8, e assim por diante. De fato, a pessoa que chamamos de Fibonacci se chamava, na verdade, Leonardo de Pisa, e esses números aparecem em seu livro "Liber Abaci", que ensinou ao mundo ocidental os métodos de aritmética que usamos hoje. Em termos de aplicações, os números de Fibonacci aparecem na natureza com uma frequência surpreendente. O número de pétalas numa flor é tipicamente um número de Fibonacci, ou o número de espirais em um girassol ou num abacaxi tende a ser um número de Fibonacci também.


De fato, há muito mais aplicações dos números de Fibonacci, mas o que eu acho o mais inspirador deles são os belos padrões numéricos que eles representam. Vou lhes mostrar um dos meus favoritos. Vamos supor que vocês gostem de elevar números ao quadrado, e, francamente, quem não gosta? (Risos)

Vejamos os quadrados dos primeiros números de Fibonacci. Então, 1² é 1, 2² é 4, 3² é 9, 5² é 25 e assim por diante. Agora, não é nenhuma surpresa que quando somamos números de Fibonacci consecutivos, encontramos o próximo número de Fibonacci. Certo? É assim que eles são definidos. Mas não se esperaria que nada especial acontecesse quando somamos os quadrados. Mas vejam só isso. 1 + 1 dá 2, e 1 + 4 dá 5. e 4 + 9 é 13, 4 + 25 é 34, e sim, o padrão continua.

Na verdade, aqui há outro. Vamos supor que vocês queiram ver a soma dos quadrados dos primeiros números de Fibonacci. Vamos ver o que conseguimos aqui. Então 1 + 1 + 4 é 6. Somando com 9, dá 15. Somando com 25, dá 40. Somando com 64, dá 104. Agora olhem para estes números. Eles não são números de Fibonacci, mas se olharem para eles atentamente, Vocês verão os números de Fibonacci enterrados dentro deles.

Vocês veem? Vou mostrar a vocês. 6 é 2 x 3, 15 é 3 x 5, 40 é 5 x 8, 2, 3, 5, 8, quem nós apreciamos?

(Risos)

Fibonacci! Claro.

Agora, por mais divertido que seja descobrir esses padrões, é ainda mais satisfatório entender por que eles acontecem. Vejamos a última equação. Por que os quadrados de 1, 1, 2, 3, 5, e 8 somados dão 8 x 13? Vou lhes mostrar desenhando uma simples figura. Vamos começar com um quadrado 1 por 1 e ao lado colocamos outro quadrado 1 por 1. Juntos, eles formam um retângulo 1 por 2. Sob eles, vou colocar um quadrado 2 por 2, e ao lado de tudo, um quadrado 3 por 3, sob tudo, um quadrado, 5 por 5, e então um quadrado 8 por 8, criando um retângulo gigante, certo?

Agora vou fazer uma pergunta bem simples: Qual é a área do retângulo? Bem, por um lado, é a soma das áreas dos quadrados internos, certos? Exatamente como o criamos. É 1² + 1² + 2² + 3² + 5² + 8². Certo? Essa é a área. Por outro lado, por ser um retângulo, a área é igual a base vezes altura, e a altura é claramente 8, e a base é 5 + 8, que é o próximo número de Fibonacci, 13. Certo? Então a área também é 8 x 13. Já que calculamos a área corretamente de dois jeitos diferentes, eles têm que ser o mesmo número, e é por isso que o quadrado de 1, 1, 2, 3, 5 e 8 somados dão 8 x 13.

Agora, se continuarmos esse processo, vamos gerar retângulos no formato 13 por 21, 21 por 34, e assim por diante.

Agora, vejam só isso. Se dividirmos 13 por 8, temos 1,625. E se dividirmos o número maior pelo menor, então essas razões se aproximam cada vez mais de cerca de 1,618, conhecido por muitas pessoas como a Razão Áurea, um número que tem fascinado os matemáticos, cientistas e artistas por séculos.

Agora, eu mostro isso tudo a vocês porque, assim como em muito da matemática, há um lado belo disso que eu receio não receba atenção suficiente em nossas escolas. Passamos muito tempo aprendendo sobre cálculos, mas não podemos esquecer da aplicação, incluindo, talvez, a aplicação mais importante de todas: aprender a pensar.

Se eu pudesse resumir isso em uma sentença, seria essa: Matemática não é só encontrar o x, também é entender o por quê.

Muito obrigado.

(Aplausos)

Fonte: TED
[Visto no Brasil Acadêmico]

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